1 写在前面
对以下变量参见：变量定义
gsl_sf_result * result
gsl_mode_t mode
2 头文件
若无特别说明，本篇代码均来自头文件 gsl_sf_airy.h
3 艾里 (Airy) 函数和导数
基本介绍
艾里方程（斯托克斯方程）
$$y^{\prime \prime}-x y=0$$
艾里函数
此方程有两个线性独立解：
$$\operatorname{Ai}(x)=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{\infty} \cos \left(\frac{t^{3}}{3}+x t\right) d t$$
$$\mathrm{Bi}(x)=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{\infty} e^{\left(-\frac{t^{3}}{3}+x t\right)}+\sin \left(\frac{t^{3}}{3}+x t\right) d t$$
艾里函数正极限
当 $x$ 趋于正无穷，
$$\operatorname{Ai}(x) \sim \frac{e^{-\frac{2}{3} x^{3 / 2}}}{2 \sqrt{\pi} x^{1 / 4}} $$
$$\operatorname{Bi}(x) \sim \frac{e^{\frac{2}{3} x^{3 / 2}}}{\sqrt{\pi} x^{1 / 4}}$$
计算函数
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int gsl_sf_airy_Ai_e(const double x, const gsl_mode_t mode, gsl_sf_result * result);
double gsl_sf_airy_Ai(const double x, gsl_mode_t mode);
int gsl_sf_airy_Bi_e(const double x, gsl_mode_t mode, gsl_sf_result * result);
double gsl_sf_airy_Bi(const double x, gsl_mode_t mode);
/* scaled Ai(x):
* Ai(x) x < 0
* exp(+2/3 x^{3/2}) Ai(x) x > 0
*
* exceptions: none
*/
int gsl_sf_airy_Ai_scaled_e(const double x, gsl_mode_t mode, gsl_sf_result * result);
double gsl_sf_airy_Ai_scaled(const double x, gsl_mode_t mode);
/* scaled Bi(x):
* Bi(x) x < 0
* exp(-2/3 x^{3/2}) Bi(x) x > 0
*
* exceptions: none
*/
int gsl_sf_airy_Bi_scaled_e(const double x, gsl_mode_t mode, gsl_sf_result * result);
double gsl_sf_airy_Bi_scaled(const double x, gsl_mode_t mode);
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计算导数
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int gsl_sf_airy_Ai_deriv_e(const double x, gsl_mode_t mode, gsl_sf_result * result);
double gsl_sf_airy_Ai_deriv(const double x, gsl_mode_t mode);
int gsl_sf_airy_Bi_deriv_e(const double x, gsl_mode_t mode, gsl_sf_result * result);
double gsl_sf_airy_Bi_deriv(const double x, gsl_mode_t mode);
/* scaled derivative Ai'(x):
* Ai'(x) x < 0
* exp(+2/3 x^{3/2}) Ai'(x) x > 0
*
* exceptions: none
*/
int gsl_sf_airy_Ai_deriv_scaled_e(const double x, gsl_mode_t mode, gsl_sf_result * result);
double gsl_sf_airy_Ai_deriv_scaled(const double x, gsl_mode_t mode);
/* scaled derivative:
* Bi'(x) x < 0
* exp(-2/3 x^{3/2}) Bi'(x) x > 0
*
* exceptions: none
*/
int gsl_sf_airy_Bi_deriv_scaled_e(const double x, gsl_mode_t mode, gsl_sf_result * result);
double gsl_sf_airy_Bi_deriv_scaled(const double x, gsl_mode_t mode);
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计算零点
计算艾里函数的第 $s$ 个零点
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/* Zeros of Ai(x)
*/
int gsl_sf_airy_zero_Ai_e(unsigned int s, gsl_sf_result * result);
double gsl_sf_airy_zero_Ai(unsigned int s);
/* Zeros of Bi(x)
*/
int gsl_sf_airy_zero_Bi_e(unsigned int s, gsl_sf_result * result);
double gsl_sf_airy_zero_Bi(unsigned int s);
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计算艾里函数导数的第 $s$ 个零点
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/* Zeros of Ai'(x)
*/
int gsl_sf_airy_zero_Ai_deriv_e(unsigned int s, gsl_sf_result * result);
double gsl_sf_airy_zero_Ai_deriv(unsigned int s);
/* Zeros of Bi'(x)
*/
int gsl_sf_airy_zero_Bi_deriv_e(unsigned int s, gsl_sf_result * result);
double gsl_sf_airy_zero_Bi_deriv(unsigned int s);
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4 参考