1 写在前面
对以下变量参见：变量定义
gsl_sf_result * result
gsl_mode_t mode
gsl_sf_result_e10 * result
2 本篇包含的特殊函数
- 克劳森 (Clausen) 函数
- 道森 (Dawson) 函数
- 德拜 (Debye) 函数
- 双重对数 (Dilogarithm)
- 误差 (Error) 函数
- 费米—狄拉克 (Fermi-Dirac) 函数
3 克劳森 (Clausen) 函数
基本公式
计算
头文件：gsl_sf_clausen.h
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int gsl_sf_clausen_e(double x, gsl_sf_result * result);
double gsl_sf_clausen(const double x);
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4 道森 (Dawson) 函数
基本公式
$$D_{+}(x)=e^{-x^{2}} \int_{0}^{x} e^{t^{2}} d t$$
计算
头文件：gsl_sf_dawson.h
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int gsl_sf_dawson_e(double x, gsl_sf_result * result);
double gsl_sf_dawson(double x);
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5 德拜 (Debye) 函数
基本公式
$$D_{n}(x)=\frac{n}{x^{n}} \int_{0}^{x} \frac{t^{n}}{e^{t}-1} d t$$
$n$ 为阶数
计算
头文件：gsl_sf_debye.h
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// 一阶
int gsl_sf_debye_1_e(const double x, gsl_sf_result * result);
double gsl_sf_debye_1(const double x);
// 2 阶
int gsl_sf_debye_2_e(const double x, gsl_sf_result * result);
double gsl_sf_debye_2(const double x);
// 3 阶
int gsl_sf_debye_3_e(const double x, gsl_sf_result * result);
double gsl_sf_debye_3(const double x);
// 4 阶
int gsl_sf_debye_4_e(const double x, gsl_sf_result * result);
double gsl_sf_debye_4(const double x);
// 5 阶
int gsl_sf_debye_5_e(const double x, gsl_sf_result * result);
double gsl_sf_debye_5(const double x);
// 6 阶
int gsl_sf_debye_6_e(const double x, gsl_sf_result * result);
double gsl_sf_debye_6(const double x);
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6 双重对数 (Dilogarithm)
基本公式
计算
头文件：gsl_sf_dilog.h
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// 实变量计算
int gsl_sf_dilog_e(const double x, gsl_sf_result * result);
double gsl_sf_dilog(const double x);
//复变量计算
// 输入 x, y, 笛卡尔坐标
int
gsl_sf_complex_dilog_xy_e(
const double x,
const double y,
gsl_sf_result * result_re,
gsl_sf_result * result_im
);
// 输入 r, theta, 极坐标
// 头文件中提到此函数不推荐使用
int
gsl_sf_complex_dilog_e(
const double r,
const double theta,
gsl_sf_result * result_re,
gsl_sf_result * result_im
);
// 计算 Li_2(1-z)
int
gsl_sf_complex_spence_xy_e(
const double x,
const double y,
gsl_sf_result * real_sp,
gsl_sf_result * imag_sp
);
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7 误差 (Error) 函数
基本公式
- 误差函数
$$\operatorname{erf}( x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{x} e^{-t^{2}} d t$$
- 误差补函数
$$\operatorname{erfc}( x) = 1-\operatorname{erf}( x)$$
- 对数误差补函数
$$\operatorname{ln}(\operatorname{erfc}( x))$$
- 标准正态分布概率密度函数
$$Z(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{1}{2} x^{2}}$$
- Q 函数
$$Q(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{x}^{\infty} \exp \left(-\frac{u^{2}}{2}\right) d u=\frac{1}{2}\operatorname{erfc}(\frac{x}{\sqrt{2}})$$
- 危险函数
$$H(x)=\frac{Z(x)}{Q(x)}=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{e^{-\frac{1}{2} x^{2}}}{\operatorname{erfc}(\frac{x}{\sqrt{2}})}$$
计算
头文件：gsl_sf_erf.h
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// erfc
int gsl_sf_erfc_e(double x, gsl_sf_result * result);
double gsl_sf_erfc(double x);
// ln erfc
int gsl_sf_log_erfc_e(double x, gsl_sf_result * result);
double gsl_sf_log_erfc(double x);
// erf
int gsl_sf_erf_e(double x, gsl_sf_result * result);
double gsl_sf_erf(double x);
// Z, Q
int gsl_sf_erf_Z_e(double x, gsl_sf_result * result);
int gsl_sf_erf_Q_e(double x, gsl_sf_result * result);
double gsl_sf_erf_Z(double x);
double gsl_sf_erf_Q(double x);
// H
int gsl_sf_hazard_e(double x, gsl_sf_result * result);
double gsl_sf_hazard(double x);
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8 费米—狄拉克 (Fermi-Dirac) 函数
基本公式
- 完全费米—狄拉克积分
$$F_{j}(x)=\frac{1}{\Gamma(j+1)} \int_{0}^{\infty} \frac{t^{j}}{e^{t-x}+1} d t$$
- 非完全费米—狄拉克积分
$$F_{j}(x, b)=\frac{1}{\Gamma(j+1)} \int_{b}^{\infty} \frac{t^{j}}{\exp (t-x)+1} d t$$
计算
头文件：gsl_sf_fermi_dirac.h
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// 完全
// j = -1 F_{-1}(x) = e^x / (1 + e^x)
int gsl_sf_fermi_dirac_m1_e(const double x, gsl_sf_result * result);
double gsl_sf_fermi_dirac_m1(const double x);
// j = 0 F_0(x) = ln(1 + e^x)
int gsl_sf_fermi_dirac_0_e(const double x, gsl_sf_result * result);
double gsl_sf_fermi_dirac_0(const double x);
// j = 1
int gsl_sf_fermi_dirac_1_e(const double x, gsl_sf_result * result);
double gsl_sf_fermi_dirac_1(const double x);
// j = 2
int gsl_sf_fermi_dirac_2_e(const double x, gsl_sf_result * result);
double gsl_sf_fermi_dirac_2(const double x);
// 整数 j
int gsl_sf_fermi_dirac_int_e(const int j, const double x, gsl_sf_result * result);
double gsl_sf_fermi_dirac_int(const int j, const double x);
// j = -1/2
int gsl_sf_fermi_dirac_mhalf_e(const double x, gsl_sf_result * result);
double gsl_sf_fermi_dirac_mhalf(const double x);
// j = 1/2
int gsl_sf_fermi_dirac_half_e(const double x, gsl_sf_result * result);
double gsl_sf_fermi_dirac_half(const double x);
// j = 3/2
int gsl_sf_fermi_dirac_3half_e(const double x, gsl_sf_result * result);
double gsl_sf_fermi_dirac_3half(const double x);
// 非完全
// j = 0
int gsl_sf_fermi_dirac_inc_0_e(const double x, const double b, gsl_sf_result * result);
double gsl_sf_fermi_dirac_inc_0(const double x, const double b);
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